EINFÜHRUNG

Im täglichen Leben spielen Zufälle eine grosse Rolle. Man versteht darunter Ereignisse, die nicht voraussehbar sind. Bittet man dich etwa, aus den Farben rot, grün und blau eine Farbe zu wählen, so kann niemand voraussagen, für welche du dich entscheidest, die Farbe ist also zufällig. Auch bei Games spielt der Zufall eine grosse Rolle: Wirft du einen Würfel, so ist die Augenzahl zwischen 1 und 6 zufällig.

Obschon die Welt vom Zufall regiert wird [mehr... Die Naturgesetze werden mit der Quantentheorie
formuliert, in welcher der Zufall die zentrale Rolle spielt] handelt es sich nicht um ein Chaos, sondern es gibt auch beim Zufall Gesetzmässigkeiten, welche gewisse Voraussagen ermöglichen. Diese gelten aber nur "im Mittel" oder anders ausgedrückt, wenn man oftmals in der gleichen Situation ist. Um die Gesetzmässigkeiten des Zufalls zu untersuchen, führt man Zufallsexperimente durch, bei denen man die Anfangsbedingungen fest vorgibt, wo aber der Ablauf durch Zufallszahlen gesteuert wird.

Für Zufallsexperimente ist der Computer hervorragend geeignet, da es sehr einfach ist, eine grosse Anzahl  von Versuchen durchzuführen. Dazu muss der Computer eine Reihe von Zufallszahlen erzeugen, die möglichst voneinander unabhängig sind. Man verwendet meist Ganzzahlen in einem gewissen vorgegebenen Bereich, z.B. zwischen 1 und 6,  oder Dezimalzahlen zwischen 0 und 1.  Einen Algorithmus, der eine Reihe von Zufallszahlen berechnet, nennt man einen Zufallszahlengenerator. Es ist wichtig, dass die Zahlen mit gleicher Häufigkeit auftreten, wie man es von einem (nicht gezinkten) Würfel her gewohnt ist. Man nennt solche Zahlen gleichverteilt [mehr... Da ein Computer nach streng determinierten Regeln arbeitet, sind die Zahlen eigentlich vorhersehbar. Man spricht deswegen von Pseudozufallszahlen].

ZUFÄLLIGES MALEN

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HÄUFIGKEIT VON WÜRFELZAHLEN

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MONTE-CARLO-SIMULATION

Das Fürstentum Monaco ist durch sein Casino im Stadtteil Monte-Carlo weltberühmt. Das Casino hat nicht nur seit 150 Jahren eine magische Anziehungskraft auf Berühmtheiten, sondern auch auf Mathematiker, die versuchen, die Spiele zu analysieren und Gewinnstrategien zu entwickeln. Zum Test der Strategien eignet sich der Computer besser als das reale Spiel, da man bei Computerexperimenten kein Geld verliert.

Beim folgenden "Spiel" wirfst du Punkte auf eine quadratische Fläche, auf der ein Polygon liegt. Die Punkte kannst du anschaulich auch als Regentropfen auffassen. Wie dies beim Regen üblich ist, fallen in einer gewissen Zeit ungefähr immer gleich viel Tropen auf jede Flächeneinheit. Die Tropfen sind also gleichverteilt. Du lässt eine bestimmte totale Zahl von Regentropfen fallen und zählst, wie viele davon auf die Polygonfläche fallen. Es ist offensichtlich, dass diese Zahl mit zunehmendem Flächeninhalt des Polygons zunimmt und im Mittel proportional zum Flächeninhalt ist. Beispielsweise fallen auf ein Polygon mit einem Flächeninhalt von ¼ des Flächeninhalts des umgebenden Quadrats ja wohl (im Mittel) ¼ aller Regentropfen. Aus dieser Erkenntnis kannst du nun umgekehrt durch Zählen der Tropfen den Flächeninhalt herausfinden. Ist das nicht elegant?

Das Programm ist modern und benutzerfreundlich  gestaltet. Du kannst zu Laufzeit mit einem linken Mausklicks die Eckpunkte  des Polygons  erzeugen. Klickst du dann mit der rechten Maustaste in Fläche, die du berechnen willst, so wird das Polygon gezeichnet und es beginnt zu regnen. Das Ergebnis wird in der Titelleiste angezeigt.

from gpanel import *
from random import random

NB_DROPS = 10000

def onMousePressed(x, y):
    if isLeftMouseButton():
        pt = [x, y]
        move(pt)
        circle(0.5)
        corners.append(pt)
    if isRightMouseButton():
        wakeUp()

def go():
    global nbHit
    setColor("gray")
    fillPolygon(corners)
    setStatusText("Working. Please wait...")
    for i in range(NB_DROPS):
        pt = [100 * random(), 100 * random()]
        color = getPixelColorStr(pt)
        if color == "black":
            setColor("green")
            point(pt)
        if color == "gray" or color == "red":
            nbHit += 1
            setColor("red")
            point(pt)
    setStatusText("All done. #hits: " + str(nbHit) + " of " + str(NB_DROPS))

makeGPanel(0, 100, 0, 100, mousePressed = onMousePressed)
addStatusBar(30)
setStatusText("Select corners with left button. Start dropping with right button")
bgColor("black")
setColor("white")
corners = []
nbHit = 0
putSleep()
go()

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CHAOS-SPIEL

Es ist auf den ersten Blick erstaunlich, dass sich mit Zufallsexperimenten regelmässige Muster erzeugen lassen. Dies hängt damit zusammen, dass sich die statistischen Schwankungen bei grossen Zahlen ausgleichen. [mehr... Obschon die zu Grund liegenden Naturgesetze auf der Quantentheorie basieren
und darum statistisch sind, bemerken wir davon im täglichen Leben wenig]. Michael Barnsley hat 1988 im Rahmen der Chaos-Theorie den folgenden Algorithmus erfunden, der auf einer zufälligen Auswahl der Eckpunkte eines Dreiecks aufbaut:

1. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck mit den Ecken A, B, C
2. Wähle einen Punkt P im Innern
3. Wähle zufällig einen der Eckpunkte
4. Halbiere die Verbindungsstrecke von P zum Eckpunkt. Dies gibt den neuen Punkt P
5. Zeichne den Punkt P
6. Wiederhole Schritt 2, 3, 4, 5

Eine solche Formulierung ist umgangssprachlich üblich, lässt sich aber nicht direkt in Programmcode übersetzen, da der Punkt 6 verlangt, dass man wieder zum zu Punkt 3 springen soll. In vielen modernen Programmiersprachen, so auch in Python, gibt es aber keine Sprung-Struktur (kein goto). Sprünge müssen mit einer der Wiederholstrukturen implementiert werden. [mehr... Der bekannte Informatiker E. Dijkstra hat bereits 1968 in einem vielzitierten Artikel vor der Verwendung von goto gewarnt. [Lit: Dijkstra: Go To Statement Considered Harmful, Communications of the ACM]].

from gpanel import *
from random import randint

MAXITERATIONS = 100000
makeGPanel(0, 10, 0, 10)

pA = [1, 1]
pB = [9, 1]
pC = [5, 8]

triangle(pA, pB, pC)
corners = [pA, pB, pC]
pt = [2, 2]

title("Working...")
for iter in range(MAXITERATIONS):
   i = randint(0, 2)
   pRand = corners[i]
   pt = getDividingPoint(pRand, pt, 0.5)
   point(pt)
title("Working...Done")

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AUFGABEN