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10.1 COMPLEXITÉ DE TRI

 

 

INTRODUCTION

 

Les ordinateurs sont bien davantage que de simples machines à calculer. On sait par exemple qu’une proportion importante du temps processeur mondial est utilisé pour trier des données pour y faire des recherches. De ce fait, il est crucial pour un programme informatique de ne pas se contenter de livrer le résultat correct mais encore de le faire de manière optimisée. L’optimisation d’un programme touche principalement les aspects suivants :

  • Sa longueur
  • Sa structure et sa clarté (lisibilité)
  • Le temps CPU nécessaire à son exécution
  • Son utilisation de la mémoire de travail (RAM)

Fondamentalement, dans l’idéal, il faudrait toujours envisager l’optimisation du code comme faisant partie intégrante de la conception du programme.
Dans ce chapitre, nous allons examiner l’optimisation du temps d’exécution d’un algorithme de tri. Nous aborderons également les limites de l’informatique et des ordinateurs au travers d’un exemple qui, bien que possédant certainement une solution algorithmique, ne peut être résolu même à l’aide de l’ordinateur le plus puissant de la planète. On parle alors de problème insoluble.

CONCEPTS DE PROGRAMMATION:
Complexité, temps d’exécution, ordre d’un algorithme, méthodes de tri, redéfinition d’opérateurs.

 

 

TRIER COMME DES ENFANTS

 

Trier et réordonner un ensemble d’objets à l’aide des opérateurs de comparaison plus grand que, plus petit que et égal [plus... En mathématiques, on dit d’un ensemble d’objets qui peuvent être ordonnés qu’il est muni d’une relation d’ordre] reste une tâche standard en informatique. Bien que tous les langages de programmation mettent à disposition des bibliothèques de fonctions permettant d’effectuer des tris, il est absolument indispensable d’inclure les concepts théoriques du tri dans votre bagage informatique car vous rencontrerez toujours des situations dans lesquelles il est nécessaire d’implémenter et optimiser son propre algorithme de tri spécifique.

On désigne par le terme « ensemble » une collection d’objets non triés. Les objets sont stockés dans une structure de données à une dimension. Les listes se prêtent particulièrement bien à cet égard.[plus... Jadis, on utilisait souvent les tableaux qui présentent cependant la désavantage d’être de longueur fixe].

Le programme suivant illustre le tri à l’aide de petits lutins représentés à l’écran par des acteurs de la bibliothèque de jeu JGameGrid. On peut facilement afficher leur image de sprite dans une grille [plus... On pourrait illustrer le tri en utilisant de simples nombres mais on ne se privera pas d’utiliser les capacités plus avancées des langages modernes
pour trier des objets plus intéressants sans devoir trop compliquer le code
]. La hauteur de l’image de sprite (en pixels) sert également de mesure de la taille du personnage.

Les algorithmes sont souvent inspirés directement de processus que nous appliquons régulièrement dans notre vie de tous les jours. Si l’on demande à des enfants d’expliquer comment ils procèdent pour trier un ensemble d’objets d’après leur taille, ils décriront souvent le processus de la manière suivante : « je prends le plus petit objet (ou le plus grand) et je le place tout à gauche ». Cette façon de procéder semble tout-à-fait raisonnable mais présente un problème pour l’ordinateur car celui-ci n’est pas capable de déterminer le plus grand ou le plus petit objet en un coup d’œil. Afin de trouver le plus petit, il est obligé de parcourir un à un tout l’ensemble d’objets et de tous les comparer deux à deux. Pour être en mesure d’implémenter ce processus de tri, appelé en l’occurrence children sort, il faut une fonction getSmallest(row) qui retourne le plus petit lutin de la liste examinée. On peut procéder comme suit.

On sauvegarde le premier élément de la liste dans la variable smallest et on parcourt tous les éléments suivants dans une boucle for. Si l’on tombe sur un élément plus petit que celui temporairement enregistré dans la variable smallest, on remplace smallest par celui-ci et on continue le parcours de la liste.

Pour le children sort, on utilise deux listes : la première, startList, contient les objets donnés et l’autre liste, targetList, est initialement vide. On recherche le plus petit élément de startList, on l’en supprime et on le rajoute à la fin de la liste targetList. On répète ce processus jusqu’à ce que startList soit vide.

from gamegrid import *
from random import shuffle

def bodyHeight(dwarf):
    return dwarf.getImage().getHeight()

def updateGrid():
   removeAllActors()
   for i in range(len(startList)):
       addActor(startList[i], Location(i, 0))
   for i in range(len(targetList)):
       addActor(targetList[i], Location(i, 1))

def getSmallest(li):
    global count
    smallest = li[0]
    for dwarf in li:
        count += 1
        if bodyHeight(dwarf) < bodyHeight(smallest):
            smallest = dwarf
    return smallest

n = 7

makeGameGrid(n, 2, 170, Color.red, False)
setBgColor(Color.white)
show()

startList = []
targetList = []

for i in range(0 , n):
    dwarf = Actor("sprites/dwarf" + str(i) + ".png")
    startList.append(dwarf)
shuffle(startList)
updateGrid()
setTitle("Children Sort. Press <SPACE> to sort...")
count = 0
while not isDisposed() and len(startList) > 0:
    c = getKeyCodeWait()
    if c == 32:
        smallest = getSmallest(startList)
        targetList.append(smallest)
        startList.remove(smallest)
        count += 1
        setTitle("Count: " + str(count) + " <SPACE> for next step...")
        updateGrid()
setTitle("Count: " + str(count) + " All done")
Sélectionner le code (Ctrl+C pour copier, Ctrl+V pour coller)

 

 

MEMENTO

 

L’algorithme du children sort nécessite, en plus de la liste d’objets à trier de longueur n, une seconde liste dont la longueur sera au bout du compte aussi de longueur n. Si la taille de la liste à trier n est très grande, cela peut poser un sérieux problème de mémoire [plus... Un algorithme de tri nécessitant, en plus de la structure de données à trier,
d’une deuxième structure de données de même longueur, est appelé tri ex
situ ou tri out-of-place. On évite généralement de tels algorithmes
en raison de leur énorme consommation de mémoire de travail (mémoire RAM)
].

On peut facilement déterminer le nombre d’opérations élémentaires nécessaires pour résoudre le problème : indépendamment de l’arrangement des objets dans la liste donnée, il faut forcément commencer par parcourir tous les n éléments de la liste puis, lors du deuxième passage, n-1 éléments etc … De plus, il faut encore à chaque fois déplacer vers la liste destination le plus petit élément trouvé dans la liste à trier. Le nombre c d’opérations nécessaires correspond donc à la somme de tous les entiers naturels compris entre 2 et n + 1 comme le montre la variable count rajoutée à des fins de profilage. En utilisant la formule permettant de calculer la somme des nombres naturels, on obtient:

  c = ((n + 1)*(n + 2))/         2 - 1 = (n2)/ 2 - (3n)/ 2  

Par exemple, pour n = 1000, il faut déjà un nombre colossal d’opérations: 

  c = 1000*1000/         2 + 3*1000/    2 = 500000 + 1500 ≈ 500000  

Comme vous le savez, le terme quadratique l’emporte pour de grandes valeurs de n, ce qui explique que l’on dit que cet algorithme est de complexité quadratique en n, ce que l’on note de la manière suivante :

Complexité = O(n2)

 

 

TRIER LE JEU DE CARTES: TRI PAR INSERTION

 

Lorsque l’on tient un jeu de cartes en éventail, on utilise souvent de manière intuitive une autre méthode de tri : on insère chaque nouvelle carte obtenue dans l’éventail à une position bien précise correspondant à sa valeur, de sorte qu’elle soit triée par rapport aux cartes déjà présentes. Le programme suivant procède exactement de la même manière lorsqu’il pioche une carte du tas et l’insère dans la liste cible (la main) :

Il prend les cartes une à une, de gauche à droite, à partir de la liste de départ et parcourt toutes les cartes déjà insérées dans la liste de destination. Dès qu’il rencontre une carte de la liste de destination qui possède une valeur supérieure à la carte à placer, il place la nouvelle carte juste avant cette dernière carte examinée.




from gamegrid import *
from random import shuffle

def cardValue(card):
    return card.getImage().getHeight()

def updateGrid():
   removeAllActors()
   for i in range(len(startList)):
       addActor(startList[i], Location(i, 0))
   for i in range(len(targetList)):
       addActor(targetList[i], Location(i, 1))

n = 9

makeGameGrid(n, 2, 130, Color.blue, False)
setBgColor(Color.white)
show()

startList = []
targetList = []

for i in range(0 , 9):
    card = Actor("sprites/" + "hearts" + str(i) + ".png")
    startList.append(card)

shuffle(startList)
updateGrid()
setTitle("Insertion Sort. Press <SPACE> to sort...")
count = 0

while not isDisposed() and len(startList) > 0:
    getBg().clear()
    c = getKeyCodeWait()
    if c == 32:
        pick = startList[0] # take first
        startList.remove(pick)
        i = 0
        while  i < len(targetList) and cardValue(pick) > cardValue(targetList[i]):
            i += 1
            count += 1
        targetList.insert(i, pick)
        count += 1
        setTitle("Count: " + str(count) + " <SPACE> for next step...")
        updateGrid()
setTitle("Count: " + str(count) + " All done")  
Sélectionner le code (Ctrl+C pour copier, Ctrl+V pour coller)

 

 

MEMENTO

 

Cette méthode de tri est appelée tri par insertion (insertion sort). Le nombre d’opérations nécessaires dépend de l’ordre initial des cartes dans le tas. La situation qui demande le plus d’étapes survient lorsque le tas est malheureusement trié mais dans l’ordre inverse. On peut montrer, soit par une réflexion théorique soit en effectuant des simulations informatiques, que le nombre d’opérations élémentaires alors nécessaires pour effectuer un tri par insertion vaut en moyenne (pour n très grand), n2 / 4. De ce fait, la complexité du tri par insertion est également en O(n2), comme pour le tri des enfants « children sort ».

 

 

TRI À BULLES (BUBBLE SORT)

 

Une façon assez connue de trier des objets d’une liste consiste à parcourir de manière répétée cette liste de gauche à droite et d’échanger deux objets adjacents qui sont dans le mauvais ordre.

Avec cette méthode, c’est tout d’abord le plus grand élément qui va remonter toute la liste de gauche à droite pour aboutir en toute dernière position. Au prochain passage, on recommence le même procédé tout à gauche de la liste en ne remontant cependant que jusqu’à l’avant-dernière place puisque le plus grand élément est déjà bien placé. Ce tri présente l’avantage de ne pas nécessiter de liste supplémentaire. [plus... Ce genre de méthode de tri qui ne nécessite pas de liste supplémentaire est dit tri in situ ou tri in place en anglais].



from gamegrid import *
from random import shuffle

def bubbleSize(bubble):
    return bubble.getImage().getHeight()

def updateGrid():
   removeAllActors()
   for i in range(len(li)):
       addActor(li[i], Location(i, 0))

def exchange(i, j):
    temp = li[i]
    li[i] = li[j]
    li[j] = temp

n = 7
li = []

makeGameGrid(n, 1, 150, Color.red, False)
setBgColor(Color.white)
show()
for i in range(0 , n):
    bubble = Actor("sprites/bubble" + str(i) + ".png")
    li.append(bubble)
shuffle(li)
updateGrid()
setTitle("Bubble Sort. Press <SPACE> for next step...")
k = n - 1
i = 0
count = 0
while not isDisposed() and k > 0:
    getBg().fillCell(Location(i, 0), makeColor("beige"))
    getBg().fillCell(Location(i + 1, 0), makeColor("beige"))
    refresh()
    c = getKeyCodeWait()
    if c == 32:
        count += 1
        bubble1 = li[i]
        bubble2 = li[i + 1]
        refresh()
        if bubbleSize(bubble1) > bubbleSize(bubble2):
             exchange(i, i + 1)
             setTitle("Last Action: Exchange. Count: " + str(count))
        else:
             setTitle("Last Action: No Exchange. Count: " + str(count))
        getBg().clear()        
        updateGrid()
        if i == k - 1:
            k = k - 1
            i = 0
        else:
            i += 1
getBg().clear()
refresh()
setTitle("All done. Count: " + str(count))
Sélectionner le code (Ctrl+C pour copier, Ctrl+V pour coller)

 

 

MEMENTO

 

Le plus grand élément se déplace progressivement de la gauche de la liste vers sa droite, exactement comme le ferait une bulle dans un verre d’eau, de bas vers le haut. C’est pour cette raison que cette méthode s’appelle tri à bulles (bubble sort en anglais). Comme vous pouvez le voir par un raisonnement ou en examinant le compteur d’opérations intégré dans le programme, la complexité de cette méthode est indépendante de l’arrangement initial des éléments mais demeure en O(n2).

Pour rendre la démonstration un peu plus attractive, les deux cellules dont les bulles viennent d’être comparées sont colorées avec la méthode fillCell(). La couleur d’arrière-fond peut être nettoyée avec getBg().clear(). Il est nécessaire d’invoquer la fonction refresh() pour faire en sorte que l’image soit réaffichée correctement à l’écran.

 

 

TRIS À L’AIDE DES FONCTIONS INTÉGRÉES: TIMSORT

 

Du fait que le tri est un des algorithmes les plus importants, tous les langages de programmation de haut niveau mettent à disposition des fonctions intégrées au langage permettant d’effectuer des tris. En Python, il s’agit de la fonction sorted(list, cmp) qui fait même partie de la bibliothèque de fonctions intégrées, de sorte qu’il n’est même pas nécessaire de l’importer avec import. Elle permet de s’économiser la tâche fastidieuse décrire un algorithme de tri. Mais il faut tout de même comprendre comment cette fonction s’utilise. Elle prend bien évidemment la liste à trier en paramètre. Le deuxième paramètre de la fonction permet de préciser le critère à utiliser pour ordonner les objets.

Ce critère est défini au sein d’une fonction qui est appelée compare() dans l’exemple ci-dessous. Cette fonction doit accepter deux objets en guise de paramètres et retourner 1, 0, ou -1, suivant que le premier objet doit être considéré respectivement comme étant supérieur, égal ou inférieur au second objet. Cette fonction de comparaison au nom quelconque est ensuite passée en deuxième paramètre de la fonction sorted. Il est également possible d’utiliser le paramètre nommé cmp.

from gamegrid import *
from random import shuffle

def bodyHeight(dwarf):
    return dwarf.getImage().getHeight()

def compare(dwarf1, dwarf2):
    if bodyHeight(dwarf1) < bodyHeight(dwarf2):
        return -1
    elif bodyHeight(dwarf1) > bodyHeight(dwarf2):
        return 1
    else:
        return 0

def updateGrid():
   removeAllActors()
   for i in range(len(li)):
       addActor(li[i], Location(i, 0))

n = 7
li = []

makeGameGrid(n, 1, 170, Color.red, False)
setBgColor(Color.white)
show()
for i in range(0 , n):
    dwarf = Actor("sprites/dwarf" + str(i) + ".png")
    li.append(dwarf)
shuffle(li)
updateGrid()
setTitle("Timsort. Press any key to get result...")
getKeyCodeWait()
li = sorted(li, cmp = compare)
updateGrid()
setTitle("All done.")  
Sélectionner le code (Ctrl+C pour copier, Ctrl+V pour coller)

 

 

MEMENTO

 

Pour effectuer un tri à l’aide des fonctions prédéfinies dans une bibliothèque, il faut spécifier la manière dont les éléments doivent être comparés à l’aide d’une fonction de comparaison. Cela permet à la fonction sorted de déterminer si le premier élément d’une paire d’objets est supérieur, égal ou inférieur au second objet à comparer [plus... Pour trier une liste de nombres, il n’est pas nécessaire de spécifier une fonction de comparaison
puisque Python sait d’emblée comment les comparer selon leur valeur numérique.
Il en va de même pour les chaines de caractères qui sont ordonnées selon l’ordre alphabétique (ordre lexicographique
].

L’algorithme utilisé en Python a été inventé par Tim Peters en 2002 et s’appelle donc Timsort. Sa complexité est en moyenne en O(n log(n)). De ce fait, lorsque n vaut par exemple 106, il suffit d’environ 107 opérations pour trier la liste au lieu des 1012 opérations que demanderait un algorithme de tri quadratique en O(n2).

 

 

EXERCICES

 

1.


Trier les 7 nains à l’aide d’un tri à bulles.

2.

Ajouter l’image de sprite snowwhite.png de Blanche Neige qui possède la même taille que le plus grand nain présent dans le tri à bulles de l’exercice 1. Montrer que l’ordre de Blanche Neige et du plus grand nain est toujours identique à l’ordre qu’ils avaient avant le début du tri. Un tel algorithme de tri est dit stable.

3.

Il est possible de générer une liste de nombres mélangés en créant une liste de nombres triés row = range(n) et en les mélangeant ensuite avec random.shuffle(row). Mesurer le temps d’exécution de l’algorithme intégré à Python (Timsort) pour différentes valeurs de n et montrer que sa complexité est bien meilleure que O(n2).
Indication
: Pour mesurer une différence de temps, il faut importer le module time et calculer la différence de temps qui s’est écoulée entre deux appels successifs à la fonction time.clock().

 

   

ATÉRIEL SUPPLÉMENTAIRE


 

REDÉFINIR LES OPÉRATIONS DE COMPARAISON

 

La comparaison de deux objets constitue une opération très importante. Les nombres admettent les cinq opérateurs de comparaison <, <=, ==, >, = >. En Python, il est possible d’appliquer ces opérateurs de comparaison à d’autres objets comme les nains par exemple, ce qui fait gagner au code en élégance et en clarté.

Voici comment procéder::

Dans la classe qui définit les objets à trier, il faut définir les méthodes __lt__(), __le__(), __eq__(), __ge__(), __gt__() qui retournent la valeur booléenne de l’opérateur de comparaison correspondant less, less-and-equal, equal, greater-and-equal, greater.

De plus, il est également possible de redéfinir la méthode __str()__, qui sera automatiquement appelée par Python lorsque l’on veut convertir l’objet en chaine de caractères avec la fonction str(). Cela n’a cependant rien à voir avec le tri.

Dans la classe Dwarf (dérivée de Actor), on peut également stocker le nom du nain dans une variable d’instance que l’on peut représenter à l’écran en tant que TextActor lors de l’exécution de la fonction updateGrid().

from gamegrid import *
from random import shuffle

class Dwarf(Actor):
    def __init__(self, name, size):
        Actor.__init__(self, "sprites/dwarf" + str(size) + ".png")
        self.name = name
        self.size = size
    def __eq__(self, a):  # ==
        return self.size == a.size
    def __ne__(self, a): # !=
        return self.size != a.size
    def __gt__(self, a): # >
        return self.size > a.size
    def __lt__(self, a): # <
        return self.size < a.size
    def __ge__(self, a): # >=
        return self.size >= a.size
    def __le__(self, a): # <=
        return self.size <= a.size
    def __str__(self):  # str() function
        return self.name

def compare(dwarf1, dwarf2):
    if dwarf1 < dwarf2:
        return -1
    elif dwarf1 > dwarf2:
        return 1
    else:
        return 0

def updateGrid():
   removeAllActors()
   for i in range(len(row)):
       addActor(row[i], Location(i, 0))
       addActor(TextActor(str(row[i])), Location(i, 0))

n = 7
row = []
names = ["Monday", "Tuesday", "Wednesday", "Thursday", 
         "Friday", "Saturday", "Sunday"]

makeGameGrid(n, 1, 170, Color.red, False)
setBgColor(Color.white)
show()
for i in range(0 , n):
    dwarf = Dwarf(names[i], i)
    row.append(dwarf)
shuffle(row)
updateGrid()
setTitle("Press any key to get result...")
getKeyCodeWait()
row = sorted(row, cmp = compare)
updateGrid()
setTitle("All done.")
Sélectionner le code (Ctrl+C pour copier, Ctrl+V pour coller)

 

 

MEMENTO

 

L’usage d’opérateurs de comparaison personnalisés pour un type de données arbitraire n’est pas obligatoire mais constitue une solution élégante pour permettre d’en trier les instances. On dit que l’on a redéfini ou surchargé l’opérateur (overloaded en anglais).